23명인데 벌써 절반이라고요?
365일 중 하루를 떠올리면 23명은 적어 보입니다. 그런데 이 문제는 내 생일과 누군가의 생일이 같을 확률을 묻지 않습니다. 방 안의 어떤 두 사람이라도 생일이 같은지를 묻습니다. 비교할 수 있는 조합의 수가 생각보다 빠르게 늘어납니다.
23명이 만들 수 있는 두 사람의 조합은 23 × 22 ÷ 2 = 253쌍입니다. 쌍마다 독립이라고 가정해 단순히 더할 수는 없지만, “기회가 내 예상보다 많다”는 감각을 잡는 데에는 도움이 됩니다.
모두 다른 생일일 확률을 빼봅니다
첫 사람의 생일은 아무 날이어도 됩니다. 둘째가 첫 사람과 다를 확률은 364/365, 셋째가 앞의 둘과 다를 확률은 363/365입니다. 이렇게 23명까지 곱하면 모두 생일이 다를 확률은 약 49.3%입니다. 이를 1에서 빼면 적어도 한 쌍이 겹칠 확률인 약 50.7%가 나옵니다.
k는 0부터 n−1까지, n은 사람 수
n = 23일 때 약 50.73%
내 생일과 같은 사람을 찾는다면?
나를 포함한 23명 중 다른 22명 가운데 내 생일과 같은 사람이 있을 확률은 1 − (364/365)²², 약 5.9%입니다. 같은 사람 수라도 “누구와 누구를 비교하는가”가 달라지면 질문의 답이 크게 달라집니다.
현실의 생일은 완전히 균등하지 않습니다
이 실험은 윤년을 제외한 365일에 생일이 균등하게 분포하고, 각 사람의 생일이 독립적이라고 가정합니다. 실제 출생일에는 계절성이나 날짜별 차이가 있고 가족·쌍둥이 같은 관계도 영향을 줍니다. 따라서 이 값은 단순화된 모형의 이론값이며 모든 실제 모임의 정확한 확률은 아닙니다.
방을 여러 번 만들어보세요. 23명인데 겹치는 사람이 없는 방도 나옵니다. 확률 50.7%는 두 번 중 반드시 한 번 겹친다는 뜻이 아니라, 같은 조건의 실험을 충분히 반복했을 때의 비율을 설명합니다.
계산 기준: 독립·균등한 365일 모형, 윤일 제외. 참고: Wolfram MathWorld · Birthday Problem.